Представим некоторый космический объект сферической формы как набор тонких сферических оболочек и будем каждую оболочку удалять в бесконечность. При удалении одной оболочки совершается работа
A = G M m / r (1)
где m=4πr²ρΔr – масса оболочки, M=4πr³ρ/3 – масса остатка, r — текущий радиус, ρ – средняя плотность остатка, G - гравитационная постоянная. Подстановка масс и плотностей в формулу (1) и ее интегрирование от r=0 до r=R дает
A = G a M2 / R (2)
где α – численный фактор, определяющий распределение вещества внутри космического объекта. Минимальное значение α=0.6 и минимальная работа наблюдаются для равномерного распределения массы (случай мелких астероидов). Максимальное значение α=0.792 имеет место для экспоненциального распределения (случай гигантских газовых туманностей с массой в миллиарды раз больше солнечной).
Зададимся вопросом: во что преобразуется работа, вычисляемая по формуле (2)? Ответ будет следующим: эта работа тратится на уничтожение гравитационного поля космического объекта. Когда мы разделяем объект на ряд сферических оболочек и удаляем каждую из них в бесконечность, мы фактически уничтожаем объект, значит уничтожаем его гравитационное поле. Так как поле обладает энергией Е, мы должны для его уничтожения затратить работу, равную сумме гравитационной и кинетической энергий всех оболочек на бесконечно большом удалении. Когда кинетическая энергия равна нулю, вычисляемая по формуле (2) работа даст энергию гравитационного поля
E = G a M2 / R (3)
Для расчета плотности гравитационной энергии (содержание энергии в единице объема) выполним следующий мысленный эксперимент. Будем уменьшать среднюю плотность вещества космического объекта от ρ1 до ρ2 при его постоянной массе. В этом случае радиус тела меняется от R1 до R2.. Разность гравитационных энергий E1 - E2 дает величину гравитационной энергии внутри тонкого слоя толщиной ΔR между двумя сферами с радиусами R1 и R2.. Разделив эту разность на объем слоя, мы будем иметь плотность гравитационной энергии
E/V = G a M2 / 4 pi R4 (4)
Хотя настоящая формула получена для слоя пространства, прилегающего к поверхности объекта, она продолжает оставаться в силе для любой другой точки пространства. Единственное отличие будет заключаться в том, что вместо радиуса R надо будет использовать расстояние Н от центра объекта до интересующей точки. Учитывая, что ускорение свободного падения в данной точке рассчитывается как g = γM/H², мы получаем связь между ускорением свободного падения и плотностью энергии гравитационного поля
E/V = a g2 /4 pi G (5)
Полученная формула справедлива для самого общего случая произвольного количества космических объектов, в то время как предыдущая формула (4) справедлива только для одного космического тела, когда гравитационное поле является сферически симметричным и всякая его деформация отсутствует. Величина g в формуле (5) является векторной суммой всех ускорений свободного падения, создаваемых отдельными полями.
Все формулы получены для случая нулевой плотности вещества на поверхности объекта. В общем случае ρS ≠0 формулы сохраняют свою форму, меняется только фактор α.
Для Земли ρS = 2200 кг/м³, ρ0 = 17000 кг/м³, М = 5.97×10(24) кг, R = 6.38×10(6) м, а плотность вещества с глубиной меняется по закону, близкому к линейному. Тогда α = 0.671, E = 2.5×10(32) дж, ε = 0.786×10(11)дж/м³. Для сравнения приводим такие цифры: энергетический эквивалент всех известных месторождений углеводородного топлива (угля, нефти, газа, торфа, горючих сланцев и т. д.) оценивается величиной порядка 10(23) дж, а при сгорании одного кубометра угля средней калорийности выделится тепла примерно в три раза меньше, чем содержится гравитационной энергии в одном кубометре пустого пространства. Таким образом, с точки зрения количества запасенной энергии гравитационное поле может выступать в качестве такого же надежного источника энергии, как любые углеводороды.
